Задача 55154

Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.

Подсказка

Перпендикуляр меньше наклонной.

Решение

Пусть h₁, h₂, h₃- высоты треугольника, опущенные на стороны a, b, c соответственно. Тогда

h₁b, h₂c, h₃a,

причем хотя бы в одном из случаев неравенство строгое.

Сложив почленно эти три неравенства, получим:

h₁ + h₂ + h₃ < a + b + c.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3508