|
|
 |
Условие
Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.
Подсказка
Докажите сначала, что отрезок AM, соединяющий вершину A треугольника ABC с точкой M, принадлежащей стороне BC, меньше большей из сторон AB и AC.
Решение
Сначала докажем, что отрезок AM, соединяющий вершину треугольника ABC, с точкой M, принадлежащей стороне BC, меньше большей из сторон AB и AC. Действительно, один из углов AMC и AMB — прямой или тупой. Тогда либо AM < AC, либо AM < AB. Отсюда следует требуемое утверждение.
Пусть теперь N — точка на стороне AC. Тогда MN меньше наибольшего из отрезков AM и MC. Кроме того, MC < BC, а AM меньше наибольшего из отрезков AB и AC. Следовательно, MN меньше наибольшей из сторон треугольника ABC.
Из доказанного утверждения следует, что диаметр треугольника (наибольшее из расстояний между точками, принадлежащими треугольнику) равен его наибольшей стороне.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3509 |
