Задача 55163

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма диагоналей выпуклого пятиугольника ABCDE больше периметра, но меньше удвоенного периметра.

Решение

  AC + BD + CE + DA + BE < (AB + BC) + (BC + CD + (CD + DE) + (DE + EA) + (EA + AB) = 2P_ABCDE.
  Пусть M, N, K, L и P – точки пересечения диагоналей AC и BE, AC и BD, BD и CE, CE и AD, AD и BE соответственно. Тогда
AB + BC + CD + DE + AE < AM + MB + BN + NC + CK + KD + DL + LE + AP + PE = (AM + NC) + (BN + KD) + (CK + LE) + (DL + AP) + (PE + MB) < AC + BD + CE + AD + BE.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3517