Информация о задаче

Задача 55168

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведённых из той же вершины.

Подсказка

Пусть CF и CM — биссектриса и медиана данного треугольника. Докажите, что $\angle$ CFM > $\angle$ CMF.

Решение

Пусть CH, CF и CM — высота, биссектриса и медиана треугольника ABC. Если этот треугольник равнобедренный (AC = CB), то утверждение очевидно.

Пусть BC > AC. Тогда CH < CF (перпендикуляр меньше наклонной). Из свойства биссектрисы треугольника следует, что AF < BF. Поэтому AF меньше половины AB, т.е. AF < AM и луч CM проходит между сторонами угла BCF. Кроме того, т.к. BC > AC, то $\angle$ BAC > $\angle$ ABC. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ CFM = $\displaystyle \angle$ BAC + $\displaystyle \angle$ ACF = $\displaystyle \angle$ BAC + $\displaystyle \angle$ FCB > $\displaystyle \angle$ ABC + $\displaystyle \angle$ MCB = $\displaystyle \angle$ CMF.

Поэтому в треугольнике CFM против большего угла CFM лежит большая сторона CM, т.е. CF < CM.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3522