Задача 55171

Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник. Докажите, что если периметр треугольника ABD меньше периметра треугольника ACD, то AB < AC.

Подсказка

Докажите, что AB + CD < AC + BD.

Решение

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Применяя неравенство треугольника к треугольникам AMB и CMD, докажем, что

AB + CD < AC + BD.

Из условия задачи следует, что

AB + BD < AC + CD.

Сложив почленно эти два неравенства, получим, что 2AB < 2AC. Следовательно, AB < AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3525