Задача 55181

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике $ABC$ угол $B$ — прямой или тупой. На стороне $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $BM = MN = NC$. Докажите, что $\angle BAM > \angle MAN > \angle NAC$.

Подсказка

На продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложите отрезок $MK$, равный $AM$.

Решение

В треугольнике $ABN$ сторона $AN$ лежит против тупого или прямого угла $ABN$, поэтому $AN > AB$. На продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложими отрезок $MK$, равный $AM$. Тогда четырёхугольник $ANKB$ — параллелограм. Поэтому $NK = AB < AN$.

В треугольнике $ANK$ против стороны $AN$ лежит угол $AKN$, больший угла, лежащего против стороны $KN$, т.е. угла $MAN$. Поэтому $\angle BAM = \angle AKN > \angle MAN.$ Аналогично доказывается, что $\angle MAN > \angle NAC$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3535