ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55183
Условие
Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая медиана.
Подсказка
Примените теорему косинусов или формулу для медианы треугольника.
Решение
Первый способ.
Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Обозначим OM = x, OK = y. Тогда OC = 2x, OB = 2y. По теореме косинусов из треугольников MOB и KOC находим, что
BM2 = x2 + 4y2 - 4xy cos
Поскольку
BM =
BM2 < KC2, или x2 + 4y2 < 4x2 + y2 (
Отсюда следует, что x > y. Поэтому
CM = 3x > 3y = BK.
Второй способ.
Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB.
Проведём медиану AN. В треугольниках ANB и ANC сторона AN —
общая, BN = CN, а AB < AC, поэтому
В треугольниках ONB и ONC сторона ON — общая, BN = CN, а
BK =
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке