Информация о задаче

Задача 55183

Темы:	[	Неравенства с медианами	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая медиана.

Примените теорему косинусов или формулу для медианы треугольника.

Первый способ.

Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Обозначим OM = x, OK = y. Тогда OC = 2x, OB = 2y.

По теореме косинусов из треугольников MOB и KOC находим, что

BM² = x² + 4y² - 4xy cos $\displaystyle \angle$ MOB, CK² = 4x² + y² - 4xy cos $\displaystyle \angle$ KOC.

Поскольку BM = ${\frac{1}{2}}$ AB, KC = ${\frac{1}{2}}$ AC, то

BM² < KC², или x² + 4y² < 4x² + y² ( $\displaystyle \angle$ MOB = $\displaystyle \angle$ KOC).

Отсюда следует, что x > y. Поэтому CM = 3x > 3y = BK.

Второй способ.

Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB.

Проведём медиану AN. В треугольниках ANB и ANC сторона AN — общая, BN = CN, а AB < AC, поэтому $\angle$ ANB < $\angle$ ANC.

В треугольниках ONB и ONC сторона ON — общая, BN = CN, а $\angle$ ONB < $\angle$ ONC, поэтому OB < OC. Следовательно,

BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ OB < $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ OC = CM.


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3537