Информация о задаче

Задача 55186

Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.

Подсказка

Пусть AM и BK — биссектрисы треугольника ABC и BC > AC. Отложите от луча AM в полуплоскости, содержащей вершину C, луч под углом, равным половине угла ABC.

Решение

Пусть P — точка пересечения биссектрис AM и BK треугольника ABC, BC > AC. Обозначим

$\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \gamma$ .

Тогда $\alpha$ > $\beta$ .

Отложим от луча AM в полуплоскости, содержащей точку C, луч по углом ${\frac{\beta}{2}}$ . Пусть F — точка пересечения этого луча с биссектрисой BK. Отрезок MF виден из точек B и A под одним и тем же углом ${\frac{\beta}{2}}$ . Следовательно, точки B, M, F и A лежат на одной окружности. Кроме того, $\angle$ ABM = $\beta$ < 90^o (т.к. $\beta$ < $\alpha$ ) и

$\displaystyle \angle$ FAB = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ < $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = 90^o.

Острые вписанные углы ABM и FAB опираются на хорды AM и BF, и $\angle$ FAB > $\angle$ ABM. Поэтому BF > AM. Следовательно,

BK = BF + FK > BF > AM.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3540