Информация о задаче

Задача 55188

Темы:	[	Неравенство треугольника	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что расстояние между серединами диагоналей выпуклого четырёхугольника не меньше модуля полуразности пары его противоположных сторон.

Соедините середины диагоналей с серединой одной из сторон.

Пусть M и N — середины диагоналей AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD и AD > BC. Если P — середина AB, то

PM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC, PN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD, PM || BC, PN || AD.

Если стороны BC и AD не параллельны, то в треугольнике PMN

MN < PN - PM = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ .

Если BC || AD, то точка M принадлежит отрезку PN и

MN = PN - PM = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ .

Аналогично рассматривается случай, когда AD < AC. Если AD = BC, то утверждение очевидно.


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3542