Задача 55189

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC. Через вершину A проведена прямая, перпендикулярная AD, а из вершины B опущен перпендикуляр BB₁ на эту прямую. Докажите, что периметр треугольника BB₁C больше периметра треугольника ABC.

Подсказка

Рассмотрите образ точки B при симметрии относительно прямой AB₁.

Решение

Заметим, что AB₁ — биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC. Поэтому при симметрии относительно прямой AB₁ точка B перейдёт в некоторую точку K, лежащую на продолжении стороны AC за точку A. При этом точка B₁ — середина отрезка BK. Тогда

BB₁ + B₁C = KB₁ + B₁C > KC = AK + AC = AB + AC.

Следовательно, периметр треугольника BB₁C больше периметра треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3543