Информация о задаче

Задача 55192

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
Темы:	[	Неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике ABCD имеет место неравенство AB $\geqslant$ AC, то BD > DC.

Подсказка

Докажите, что AC + BD > AB + DC.

Решение

Первый способ.

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD данного четырёхугольника. Применим неравенство треугольника к треугольникам AMB и DMC:

AM + BM > AB, DM + MC > DC.

Сложив почленно эти неравенства, получим, что

AC + BD > AB + DC.

Если AB $\geqslant$ AC, то BD > DC.

Второй способ.

Рассмотрим треугольник ABC. В нём AB $\geqslant$ AC, поэтому $\angle$ ACB $\geqslant$ $\angle$ ABC. Поскольку луч CA проходит между сторонами угла BCD, то

$\displaystyle \angle$ DCB = $\displaystyle \angle$ DCA + $\displaystyle \angle$ ACB > $\displaystyle \angle$ ACB $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ DBC + $\displaystyle \angle$ ABD > $\displaystyle \angle$ DBC,

т.е. в треугольнике DBC $\angle$ DCB > $\angle$ DBC. Следовательно, BD > DC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3546