ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55192
Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Неравенство треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике ABCD имеет место неравенство AB $ \geqslant$ AC, то BD > DC.


Подсказка

Докажите, что AC + BD > AB + DC.


Решение

Первый способ.

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD данного четырёхугольника. Применим неравенство треугольника к треугольникам AMB и DMC:

AM + BM > ABDM + MC > DC.

Сложив почленно эти неравенства, получим, что

AC + BD > AB + DC.

Если AB $ \geqslant$ AC, то BD > DC.

Второй способ.

Рассмотрим треугольник ABC. В нём AB $ \geqslant$ AC, поэтому $ \angle$ACB $ \geqslant$ $ \angle$ABC. Поскольку луч CA проходит между сторонами угла BCD, то

$\displaystyle \angle$DCB = $\displaystyle \angle$DCA + $\displaystyle \angle$ACB > $\displaystyle \angle$ACB $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$DBC + $\displaystyle \angle$ABD > $\displaystyle \angle$DBC,

т.е. в треугольнике DBC $ \angle$DCB > $ \angle$DBC. Следовательно, BD > DC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3546

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .