Информация о задаче

Задача 55193

Темы:	[	Неравенства с медианами	]
Темы:	[	Неравенство треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в треугольнике со сторонами a, b, c медиана m, проведённая к стороне c, удовлетворяет неравенству m > ${\frac{a+b-c}{2}}$ .

Подсказка

Примените неравенство треугольника к каждому из двух треугольников, на которые данная медиана разбивает исходный треугольник.

Решение

Медиана разбивает данный треугольник на два треугольника со сторонами m, a, ${\frac{c}{2}}$ и m, b, ${\frac{c}{2}}$ . Применим к каждому из них неравенство треугольника:

m + $\displaystyle {\frac{c}{2}}$ > a, m + $\displaystyle {\frac{c}{2}}$ > b.

Сложив почленно эти два неравенства, получим, что

2m + c > a + b.

Отсюда следует, что m > ${\frac{a+b-c}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3547