Задача 55194

Темы:    [ Неравенства с медианами ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Пусть a, b, c — стороны произвольного треугольника. Докажите, что a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)

Подсказка

Примените неравенство треугольника: a > | b - c|.

Решение

Возведем в квадрат обе части каждого из трёх следующих неравенств:

a > | b - c|, b > | a - c|, c > | a - b|.

Получим, что

a² > b² - 2bc + c², b² > a² - 2ac + c², c² > a² - 2ab + b².

Сложив почленно эти неравенства, получим, что

a² + b² + c² > 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc.

Отсюда следует, что a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3548