ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55196
Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Неравенства с медианами ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть AA1 — медиана треугольника ABC. Докажите, что угол A острый тогда и только тогда, когда AA1 > $ {\frac{1}{2}}$BC.


Подсказка

Постройте окружность на стороне BC как на диаметре.


Решение

Первый способ.

Построим на стороне BC как на диаметре окружность. Пусть AA1 > $ {\frac{1}{2}}$BC. Тогда вершина A лежит вне этой окружности. Поэтому отрезок BC виден из точки A под острым углом.

Обратно, если угол A — острый, то точка A лежит вне окружности. Поэтому AA1 > $ {\frac{1}{2}}$BC.

Второй способ.

Пусть AA1 > $ {\frac{1}{2}}$BC = BA1. Тогда в треугольнике AA1B против большей стороны AA1 лежит больший угол. Значит, $ \angle$BAA1 < $ \angle$B. Аналогично докажем, что $ \angle$СAA1 < $ \angle$С. Следовательно,

$\displaystyle \angle$BAC = $\displaystyle \angle$BAA1 + $\displaystyle \angle$CAA1 < $\displaystyle \angle$B + $\displaystyle \angle$C = 180o - $\displaystyle \angle$BAC.

Отсюда находим, что $ \angle$BAC < 90o.

Обратно, пусть угол BAC — острый. Предположим, что AA1 $ \leqslant$ $ {\frac{1}{2}}$BC. Тогда аналогично предыдущему докажем, что $ \angle$BAC $ \geqslant$ 90o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3550

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .