|
|
 |
Условие
Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон.
Докажите, что этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.
Решение 1
Пусть M и N – середины сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD и MN = ½ (AD + BC). На продолжении отрезка BN за точку N отложим отрезок NK, равный BN. Из равенства треугольников BCN и KDN (по двум сторонам и углу между ними) следует, что DK = BC и DK || BC.
Поскольку MN – средняя линия треугольника ABK, то AK = 2MN = AD + BC = AD + DK. Следовательно, точка D лежит на отрезке AK и AD || BC.
Решение 2
Заметим, что Сложив (с учетом того, что
), получим, что
Поскольку длина суммы векторов не превосходит суммы их длин, то 2MN ≤ BC + AD, причём равенство достигается только в том случае, когда векторы
и
сонаправлены, то есть когда ABCD – трапеция с основаниями BC и AD.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3556 |
