ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55202
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Неравенства с векторами ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон.
Докажите, что этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.


Решение 1

  Пусть M и N – середины сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD и  MN = ½ (AD + BC).  На продолжении отрезка BN за точку N отложим отрезок NK, равный BN. Из равенства треугольников BCN и KDN (по двум сторонам и углу между ними) следует, что  DK = BC  и  DK || BC.

  Поскольку MN – средняя линия треугольника ABK, то  AK = 2MN = AD + BC = AD + DK.  Следовательно, точка D лежит на отрезке AK и  AD || BC.


Решение 2

  Заметим, что    Сложив (с учетом того, что   ),  получим, что     Поскольку длина суммы векторов не превосходит суммы их длин, то  2MN ≤ BC + AD,  причём равенство достигается только в том случае, когда векторы    и    сонаправлены, то есть когда ABCD – трапеция с основаниями BC и AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3556

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .