Задача 55204

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть E, F, G, H – середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что  S_ABCD ≤ EG·HF.

Подсказка

Площадь четырёхугольника ABCD вдвое больше площади четырёхугольника EGHF.

Решение

Напомним, что EFGH – параллелограмм (Вариньона). Поскольку EF – средняя линия треугольника ABC, то  S_EBF = ¼ S_ABC.  Сложив четыре аналогичных равенства, получим  S_ABCD – S_EFGH = ½ S_ABCD.  Поэтому  S_ABCD = 2S_EFGH ≤ EG·HF.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3558