Информация о задаче

Задача 55211

Темы:	[	Неравенства с высотами	]
	[	Неравенство треугольника	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть h₁ и h₂ — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Докажите, что ${\frac{1}{2r}}$ < ${\frac{1}{h_{1}}}$ + ${\frac{1}{h_{2}}}$ < ${\frac{1}{r}}$ .

Подсказка

Воспользуйтесь формулами: S = pr и S = ${\frac{1}{2}}$ ah_a, где S — площадь треугольника, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

Решение

Пусть h₁ и h₂ — высоты, проведенные к сторонам a и b; c — третья сторона треугольника; S — его площадь; p — полупериметр. Тогда

p = $\displaystyle {\frac{a + b + c}{2}}$ > $\displaystyle {\frac{a + b}{2}}$ .

Поэтому

pr = S > $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}\right)$ r = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{S}{h_{1}} + \frac{S}{h_{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{S}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{S}{h_{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{S}{h_{1}} + \frac{S}{h_{2}}}\right)$ r.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{S}{h_{2}}}$ < $\displaystyle {\frac{S}{r}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{1}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_{2}}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{r}}$ .

С другой стороны,

a + b > c $\displaystyle \Rightarrow$ 2a + 2b > a + b + c $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ > $\displaystyle {\frac{a + b + c}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{p}{2}}$ $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ r $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}\right)$ > $\displaystyle {\frac{pr}{2}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ r $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{S}{h_{1}} + \frac{S}{h_{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{S}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{S}{h_{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{S}{h_{1}} + \frac{S}{h_{2}}}\right)$ > $\displaystyle {\frac{S}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{1}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_{2}}}$ > $\displaystyle {\frac{1}{2r}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3565