ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55211
Темы:    [ Неравенства с высотами ]
[ Неравенство треугольника ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть h1 и h2 — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Докажите, что $ {\frac{1}{2r}}$ < $ {\frac{1}{h_{1}}}$ + $ {\frac{1}{h_{2}}}$ < $ {\frac{1}{r}}$.


Подсказка

Воспользуйтесь формулами: S = pr и S = $ {\frac{1}{2}}$aha, где S — площадь треугольника, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.


Решение

Пусть h1 и h2 — высоты, проведенные к сторонам a и b; c — третья сторона треугольника; S — его площадь; p — полупериметр. Тогда

p = $\displaystyle {\frac{a + b + c}{2}}$ > $\displaystyle {\frac{a + b}{2}}$.

Поэтому

pr = S > $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{a}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}\right)$r = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{S}{h_{1}} + \frac{S}{h_{2}}}\right.$$\displaystyle {\frac{S}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{S}{h_{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{S}{h_{1}} + \frac{S}{h_{2}}}\right)$r.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{S}{h_{2}}}$ < $\displaystyle {\frac{S}{r}}$  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle {\frac{1}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_{2}}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{r}}$.

С другой стороны,

a + b > c  $\displaystyle \Rightarrow$  2a + 2b > a + b + c  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ > $\displaystyle {\frac{a + b + c}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{p}{2}}$  $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$  r$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{a}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}\right)$ > $\displaystyle {\frac{pr}{2}}$   $\displaystyle \Rightarrow$  r$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{S}{h_{1}} + \frac{S}{h_{2}}}\right.$$\displaystyle {\frac{S}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{S}{h_{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{S}{h_{1}} + \frac{S}{h_{2}}}\right)$ > $\displaystyle {\frac{S}{2}}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{1}{h_{1}}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{h_{2}}}$ > $\displaystyle {\frac{1}{2r}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3565

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .