ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55212
Темы:    [ Неравенства с высотами ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Радиус вписанной окружности треугольника равен $ {\frac{1}{3}}$. Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.


Подсказка

Большая высота треугольника опущена на меньшую его сторону.


Решение

Пусть a $ \leqslant$ b $ \leqslant$ c — сторона данного трегольника, h — его наибольшая высота, r = $ {\frac{1}{3}}$ — радиус вписанной окружности. Тогда h — высота, опущенная на наименьшую сторону a.

Если S — площадь треугольника, то

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ah = $\displaystyle {\frac{a + b + c}{2}}$r.

Поэтому

ah = $\displaystyle {\frac{a + b + c}{3}}$, 3ah = a + b + c $\displaystyle \geqslant$ 3a.

Следовательно, h $ \geqslant$ 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3566

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .