Информация о задаче

Задача 55212

Темы:	[	Неравенства с высотами	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Радиус вписанной окружности треугольника равен ${\frac{1}{3}}$ . Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.

Подсказка

Большая высота треугольника опущена на меньшую его сторону.

Решение

Пусть a $\leqslant$ b $\leqslant$ c — сторона данного трегольника, h — его наибольшая высота, r = ${\frac{1}{3}}$ — радиус вписанной окружности. Тогда h — высота, опущенная на наименьшую сторону a.

Если S — площадь треугольника, то

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ah = $\displaystyle {\frac{a + b + c}{2}}$ r.

Поэтому

ah = $\displaystyle {\frac{a + b + c}{3}}$ , 3ah = a + b + c $\displaystyle \geqslant$ 3a.

Следовательно, h $\geqslant$ 1.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3566