Задача 55221

Темы:    [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Дан угол XAY и точка O внутри него. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

Подсказка

Через точку O проведите прямую, отрезок которой, заключенный внутри данного угла, делился бы точкой O пополам.

Решение

На продолжении отрезка AO за точку O отложим отрезок OM, равный OA, и проведём через точку M прямую, параллельную стороне AY данного угла. Пусть B — точка пересечения этой прямой со стороной AX, а прямая BO пересекает сторону AY в точке C. Тогда треугольники MOB и AOC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому OB = OC.

Докажем, что ABC — искомый треугольник. Проведём через точку O прямую, пересекающую AX и AY в точках B₁ и C₁ соответственно. Пусть B₁ лежит между A и B. Обозначим через K точку пересечения прямых B₁C₁ и MB. Тогда

S_OB1B = S_OKB - S_B1KB < S_OKB = S_OCC1.

Следовательно, S_ABC < S_AB1C1.

Случай, когда точка B лежит между точками A и B₁ рассматривается аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3575