Информация о задаче

Задача 55223

Темы:	[	Неравенство треугольника	]
	[	Неравенства с медианами	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Пусть AA₁ и BB₁ — медианы треугольника ABC. Докажите, что AA₁ + BB₁ > ${\frac{3}{2}}$ AB.

Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Применяя неравенство треугольника к треугольнику AMB, получим, что

AM + MB > AB, или $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ AA₁ + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ BB₁ > AB.

Следовательно, AA₁ + BB₁ > ${\frac{3}{2}}$ AB.


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3577