Задача 55225

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая. (Центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды).

Подсказка

Опустите перпендикуляры из центров окружностей на прямую, проходящую через точку пересечения окружностей.

Решение

Пусть M — общая точка окружностей с центрами O₁ и O₂; прямая, проходящая через точку M пересекает окружности в точках A и B соответственно.

Если P и Q — проекции точек O₁ и O₂ на эту прямую, то P — середина AM, а Q — середина BM. Тогда

PQ = AM + BM = AB, PQO₁O₂,

причём равенство достигается, если прямая AB перпендикулярна общей хорде двух окружностей.

Следовательно, искомая прямая параллельна линии центров O₁O₂ данных окружностей.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3579