Задача 55226

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит другую диагональ пополам и BC + CD = AB + AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Подсказка

Пусть M — точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Отложите на луче MA отрезок MA₁, равный CM.

Решение

Пусть M — середина диагонали BD. Если AM = CM, то ABCD — параллелограмм.

Предположим, что AM > CM. Возьмем на отрезке AM точку A₁ такую, что A₁M = CM. Тогда A₁BCD — параллелограмм. Поэтому

A₁B = CD, A₁D = BC, A₁B + A₁D = BC + CD = AB + AD,

что невозможно, т.к. A₁B + A₁D < AB + AD. Аналогично для случая AM < CM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3580