Информация о задаче

Задача 55227

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны n точек A₁, A₁,..., A_n и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку M, для которой MA₁ + MA₂ +...+ MA_n $\geqslant$ n.

Подсказка

Пусть M и N — две диаметрально противоположные точки данной окружности. Тогда либо M, либо N — искомая точка.

Решение

Пусть M и N — диаметрально противоположные точки окружности. Тогда

MA_k + NA_k $\displaystyle \geqslant$ MN = 2.

Складывая почленно эти неравенства для k = 1, 2,..., n, получим, что

(MA₁ + MA₂ +...+ MA_n) + (NA₁ + NA₂ +...+ NA_n) $\displaystyle \geqslant$ 2n.

Поэтому либо

MA₁ + MA₂ +...+ MA_n $\displaystyle \geqslant$ n,

либо

NA₁ + NA₂ +...+ NA_n $\displaystyle \geqslant$ n.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3581