ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55228
Тема:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.


Подсказка

Если ABCD — выпуклый четырёхугольник, то BC + AD < AC + BD.


Решение

Рассмотрим все разбиения данных точек на пары разноцветных. Этих разбиений конечное число, поэтому найдётся разбиение (назовем его минимальным), для которого сумма длин отрезков, заданных парами точек этого разбиения, наименьшая. Покажем, что тогда эти отрезки не будут пересекаться.

В самом деле, если бы два отрезка K1C1 и K2C2 с разноцветными концами пересеклись (будем обозначать красные точки буквами K, а синие — C), то мы смогли бы выбрать разбиение с меньшей суммой длин отрезков, заменив диагонали K1C1 и K2C2 выпуклого четырёхугольника K1C2C1K2 на его противоположные стороны K1C2 и K2C1. Тогда

K1C2 + K2C1 < K1C1 + K2C2,

что противоречит выбору минимального разбиения.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3582
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 4
Название Разные задачи на неравенство треугольника
Тема Неравенство треугольника (прочее)
задача
Номер 09.023

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .