Информация о задаче

Задача 55230

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что

AM^.BC + BM^.AC + CM^.AB $\displaystyle \geqslant$ 4S,

где S — площадь треугольника ABC.

Опустите перпендикуляры из точек B и C на прямую AM и докажите, что S_AMB + S_AMC $\leqslant$ ${\frac{1}{2}}$ AM^.BC.

Опустим из точек B и C перпендикуляры BB₁ и CC₁ на прямую AM. Тогда

2S_AMB + 2S_AMC = AM^.BB₁ + AM^.CC₁ = AM(BB₁ + CC₁) $\displaystyle \leqslant$ AM^.BC.

Аналогично докажем, что

2S_AMC + 2S_BMC $\displaystyle \leqslant$ CM^.AB, 2S_BMC + 2S_BMA $\displaystyle \leqslant$ BM^.AC.

Сложив почленно эти неравенства, получим, что

4(S_AMB + S_AMC + S_BMC) $\displaystyle \leqslant$ AM^.BC + BM^.AC + CM^.AB.

Следовательно,

4S $\displaystyle \leqslant$ AM^.BC + BM^.AC + CM^.AB.


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3584