Задача 55231

Темы:    [ Неравенства с высотами ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Пусть h₁, h₂, h₃ – высоты треугольника, r – радиус вписанной окружности. Докажите, что  h₁ + h₂ + h₃ ≥ 9r.

Подсказка

Воспользуйтесь формулой  S = pr,  где S – площадь, а p – полупериметр треугольника.

Решение

Пусть a, b, c – стороны треугольника, соответствующие высотам h₁, h₂, h₂; S – площадь треугольника. Тогда  S = ½ ah₁ = ½ (a + b + c)r.  Поэтому
h₁ = (1 + ^a/_b + ^b/_c)r. Аналогично  h₂ = (1 + ^a/_b + ^c/_b)r,  h₃ = (1 + ^a/_c + ^b/_c)r.  Следовательно,
h₁ + h₂ + h₃ = (3 + (^b/_a + ^a/_b) + (^c/_a + ^a/_c) + (^c/_b + ^b/_c) ≥ (3 + 2 + 2 + 2)r = 9r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3585