Задача 55232

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 60°. Докажите, что  AB + AC ≤ 2BC.

Подсказка

Пусть  AB > AC.  Отложите на луче AC отрезок AB', равный AB, а на луче AB – отрезок AC', равный AC.

Решение 1

  Если  AB = AC,  утверждение очевидно.
  Пусть  AB > AC.  Отложим на луче AC отрезок AB', равный AB, а на луче AB – отрезок AC', равный AC. Тогда  AB + AC = BB' + CC' < BC + B'C' = 2BC.

Решение 2

  На продолжении отрезка AB за точку A отложим отрезок  AD = AC  и опустим перпендикуляр BK на прямую DC. Тогда  ∠AВС = ½ ∠A = 30°,  поэтому  AB + AC = DB = 2BK ≤ 2BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3586