Информация о задаче

Задача 55246

Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Долматов С.

Точка M лежит на стороне AC остроугольного треугольника ABC. Вокруг треугольников ABM и CBM описываются окружности. При каком положении точки M площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?

Подсказка

Углы, под которыми отрезок BM виден из центров окружностей, имеют постоянную величину.

Решение

Пусть O и O₁ — центры описанных окружностей треугольников ABM и CBM. Общей частью указанных кругов является объединение двух сегментов с общей хордой BM.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ BOM = 2 $\displaystyle \angle$ BAC, $\displaystyle \angle$ BO₁M = 2 $\displaystyle \angle$ BCA,

то величины углов BOM и BO₁M постоянны. Поэтому площадь каждого из сегментов тем меньше, чем меньше хорда BM. Следовательно, площадь общей части кругов минимальна, когда BM — высота треугольника ABC.

Ответ

Точка M — основание высоты треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3600