ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55250
Темы:    [ Неравенства с высотами ]
[ Неравенство треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли треугольник со сторонами a = 7 и b = 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?


Подсказка

В предположении, что такой треугольник существует найдите его третью сторону и воспользуйтесь неравенством треугольника.


Решение

Предположим, что такой треугольник существует. Пусть ha, hb, hc — его высоты, опущенные на стороны a, b, c соответственно (a = 7, b = 2); S — площадь этого треугольника. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$aha = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$bhb = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$chc.

Отсюда hc = $ {\frac{bh_{b}}{c}}$ и hc = $ {\frac{ah_{a}}{c}}$. Поэтому

h2c = hc . hc = $\displaystyle {\frac{abh_{a}h_{b}}{c^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{abh^{2}_{c}}{c^{2}}}$

Значит,

c2 = ab = 14, c = $\displaystyle \sqrt{14}$.

Поскольку a + c = 2 + $ \sqrt{14}$ < 7, такой треугольник не существует.


Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3604

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .