Информация о задаче

Задача 55257

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть c — наибольшая сторона треугольника со сторонами a, b, c. Докажите, что если a² + b² > c², то треугольник остроугольный, а если a² + b² < c², — тупоугольный.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Если $\gamma$ — угол, противолежащий стороне c. По теореме косинусов

c² = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ .

Отсюда находим, что

cos $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}}$ .

Если a² + b² > c², то cos $\gamma$ > 0 и наибольший угол треугольника -- острый. Поэтому треугольник — остроугольный.

Если же a² + b² < c², то cos $\gamma$ < 0, поэтому угол $\gamma$ — тупой. Следовательно, треугольник — тупоугольный.

Если $\gamma$ — угол, противолежащий стороне c. По теореме косинусов

c² = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ .

Отсюда находим, что

cos $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}}$ .

Если a² + b² > c², то cos $\gamma$ > 0 и наибольший угол треугольника -- острый. Поэтому треугольник — остроугольный.

Если же a² + b² < c², то cos $\gamma$ < 0, поэтому угол $\gamma$ — тупой. Следовательно, треугольник — тупоугольный.

Если $\gamma$ — угол, противолежащий стороне c. По теореме косинусов

c² = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ .

Отсюда находим, что

cos $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}}$ .

Если a² + b² > c², то cos $\gamma$ > 0 и наибольший угол треугольника -- острый. Поэтому треугольник — остроугольный.

Если же a² + b² < c², то cos $\gamma$ < 0, поэтому угол $\gamma$ — тупой. Следовательно, треугольник — тупоугольный.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4004