Информация о задаче

Задача 55263

Тема:

[

Теорема косинусов

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AC = 13, AB = 14, BC = 15. На стороне BC взята точка M, причём CM : MB = 1 : 2. Найдите AM.

Подсказка

По теореме косинусов найдите cos $\angle$ C из треугольника ABC.

Решение

Из теоремы косинусов следует, что

cos $\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle {\frac{AC^{2} + BC^{2} - AB^{2}}{2 AC\cdot BC}}$ = $\displaystyle {\frac{196 + 225 - 196}{2\cdot 13\cdot 15}}$ = $\displaystyle {\frac{33}{13\cdot 5}}$ .

Значит,

AM² = AC² + CM² - 2AC^.CM cos $\displaystyle \angle$ C =

= 169 + 25 - 2^.13^.5^. $\displaystyle {\frac{33}{13\cdot 5}}$ = 194 - 66 = 128.

Следовательно, AM = 8 $\sqrt{2}$ .

Ответ

8 $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4010