Информация о задаче

Задача 55267

Темы:	[	Удвоение медианы	]
Темы:	[	Теорема о сумме квадратов диагоналей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна ${\frac{1}{2}}$ $\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}$ .

Достройте данный треугольник до параллелограмма.

Пусть AB = c, BC = a, AC = b — стороны треугольника ABC; CM = m — медиана треугольника.

На продолжении медианы CM за точку M отложим отрезок MD, равный CM. Тогда ACBD — параллелограмм. Поэтому

CD² + AB² = 2(AC² + BC²), или 4m² + c² = 2(a² + b²).

Отсюда находим, что

m² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2a² + 2b² - c²).


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4014