Информация о задаче

Задача 55278

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность радиуса 7 вписан выпуклый четырёхугольник ABCD. Стороны AB и BC равны. Площадь треугольника ABD относится к площади треугольника BCD, как 2:1. Угол ADC равен 120^o. Найдите все стороны четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Докажите, что AD = 2CD.

Решение

Если R — радиус окружности (R = 7), то

AC = 2R sin $\displaystyle \angle$ ADC = 2^.7^.sin 120^o = 7 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поскольку $\angle$ ABC = 180^o - $\angle$ ADC = 60^o, то

AB = BC = AC = 7 $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

а т.к. $\angle$ ADB = $\angle$ CDB = 60^o, то

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta BCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{DC}}$ = 2.

Пусть DC = x. Тогда AD = 2x, и по теореме косинусов

AC² = AD² + CD² - 2CD^.AD cos $\displaystyle \angle$ ADC,

или

(7 $\displaystyle \sqrt{3}$ )² = 4x² + x² + 2^.2x^.x^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Отсюда находим, что x² = 21. Следовательно,

CD = x = $\displaystyle \sqrt{21}$ , AD = 2x = 2 $\displaystyle \sqrt{21}$ .

Ответ

AB = BC = 7 $\sqrt{3}$ , CD = $\sqrt{21}$ , AD = 2 $\sqrt{21}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4025