Информация о задаче

Задача 55280

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD, в которой BC и AD — основания, диагональ AC является биссектрисой угла BAD, равного 120^o. Радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен $\sqrt{3}$ . Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC относятся как 4:1. Найдите все стороны трапеции ABCD.

Подсказка

Докажите, что AD = 2BC = 2AB.

Решение

Обозначим AB = x. Поскольку треугольник ABC — равносторонний ( $\angle$ ACB = $\angle$ CAD = $\angle$ CAB = 60^o), то BC = AB = x и AC = x. Поскольку треугольники AOD и BOC подобны с коэффициентом $\sqrt{4}$ = 2, то AD = 2BC = 2x.

Если R — радиус окружности, описанной около треугольника ABD, то

BD = 2R sin $\displaystyle \angle$ BAD = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 3.

По теореме косинусов

BD² = AB² + AD² - 2AB^.AD cos $\displaystyle \angle$ BAD,

или

9 = x² + 4x² + 2x².

Отсюда находим, что x = ${\frac{3}{\sqrt{7}}}$ .

По теореме косинусов из треугольника ACD находим, что

CD = 3 $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{7}}$ .

Ответ

AB = BC = ${\frac{3}{\sqrt{7}}}$ , CD = 3 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ , AD = ${\frac{6}{\sqrt{7}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4027