Информация о задаче

Задача 55284

Темы:	[	Теорема о сумме квадратов диагоналей	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD высота, проведённая из вершины B тупого угла на сторону DA, делит её в отношении 5:3, считая от вершины D. Найдите отношение AC : BD, если AD : AB = 2.

Подсказка

Примените теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Решение

Обозначим AD = 8x, AB = 4x. Пусть K — основание указанной высоты. Тогда

AK = 3x, DK = 5x, BK = $\displaystyle \sqrt{AB^{2}- KC^{2}}$ = x $\displaystyle \sqrt{7}$ ,

BD² = BK² + KD² = 32x².

Поскольку

AC² + BD² = 2^.AB² + 2^.BC²,

то

AC² + 32x² = 32x² + 128x².

Отсюда находим, что

AC² = 128x², AC = 8x $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AC}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{8x\sqrt{2}}{4x\sqrt{2}}}$ = 2.

Ответ

2:1.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4031