Информация о задаче

Задача 55285

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри угла в 60^o расположена точка, отстоящая на расстояния $\sqrt{7}$ и 2 $\sqrt{7}$ от сторон угла. Найдите расстояние этой точки от вершины угла.

Подсказка

Данная точка, её проекции на стороны данного угла и вершина данного угла лежат на одной окружности.

Решение

Пусть A и B — проекции данной точки M на стороны данного угла с вершиной C; MA = $\sqrt{7}$ , MB = 2 $\sqrt{7}$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ AMB = 180^o - $\displaystyle \angle$ ACB = 180^o - 60^o = 120^o.

По теореме косинусов из треугольника AMB находим, что

AB = $\displaystyle \sqrt{AM^{2}+ BM^{2}- 2AM\cdot BM\cos 120^{\circ}}$ = $\displaystyle \sqrt{7 + 28 + 14}$ = 7.

Точки A, M, B и C лежат на окружности с диаметром CM. Поэтому AB = CM sin $\angle$ ACB. Отсюда находим, что

CM = $\displaystyle {\frac{AB}{\sin 60^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{14}{\sqrt{3}}}$ .

Ответ

${\frac{14\sqrt{3}}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4032