Информация о задаче

Задача 55287

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC дано: $\angle$ ACB = 60^o, $\angle$ ABC = 45^o. На продолжении AC за вершину C берется точка K, причём AC = CK. На продолжении BC за вершину C берется точка M, причём треугольник с вершинами C, M и K подобен исходному. Найдите BC : MK, если известно, что CM : MK < 1.

Подсказка

Докажите, что $\angle$ KCM = 75^o.

Решение

Поскольку CM < MK и углы треугольника CMK равны 60^o, 45^o и 75^o, то CM — наименьшая его сторона. Поэтому

$\displaystyle \angle$ MKC = 45^o, $\displaystyle \angle$ KMC = 75^o.

По теореме синусов из треугольников ABC и MKC находим, что

AC = $\displaystyle {\frac{BC\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}}$ , MK = $\displaystyle {\frac{KC\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{AC\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{BC\sin 45^{\circ}\sin 60^{\circ}}{\sin ^{2}75^{\circ}}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{BC}{MK}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ^{2} 75^{\circ}}{\sin 45^{\circ}\sin 60^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{1-\cos 150^{\circ}}{2\sin 45^{\circ}\sin 60^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{2\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{6}}}$ .

Ответ

${\frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{6}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4034