Информация о задаче

Задача 55291

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Периметр параллелограмма ABCD равен 26. Угол ABC равен 120^o. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, равен $\sqrt{3}$ . Найдите стороны параллелограмма, если известно, что сторона AD больше стороны AB.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Заметим, что

$\displaystyle \angle$ C = 180^o - 120^o = 60^o.

Пусть K, P и M — точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно CD, BC и BD треугольника DBC, O — центр этой окружности. Обозначим DK = DM = x, BP = BM = y.

Поскольку

CK = OKctg30^o = $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle \sqrt{3}$ = 3,

то

CD = x + 3, BC = y + 3, BD = x + y.

Из условия задачи следует, что CD + BC = 13. По теореме косинусов из треугольника BCD находим, что

BD² = BC² + CD² - BC^.CD.

Таким образом, имеем систему уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x + y = 7\\ (x + y)^{2}= (x + 3)^{2}+ (y + 3)^{2} - (x + 3)(y + 3).\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x + y = 7\\ (x + y)^{2}= (x + 3)^{2}+ (y + 3)^{2} - (x + 3)(y + 3).\\ \end{array}$

Условию задачи удовлетворяет её решение x = 2, y = 5. Следовательно, AB = CD = 5, AD = BC = 8.

Ответ

8 и 5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4038