Информация о задаче

Задача 55292

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника ABC равна 15 $\sqrt{3}$ . Угол BAC равен 120^o. Угол ABC больше угла ACB. Расстояние от вершины A до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, равно 2. Найдите медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Пусть O — центр окружности; K, M, N — точки касания со сторонами AC, BC, AB соответственно. Тогда

OK = r = AO sin 60^o = $\displaystyle \sqrt{3}$ , AK = AO cos 60^o = 1.

Если p — полупериметр треугольника ABC, то S_ABC = pr. Отсюда находим, что p = 15.

Обозначим BM = BN = x, CM = CK = y. Тогда

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x + y + 1 = 15\\ (x + y)^{2} = (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (x + 1)(y + 1). \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x + y + 1 = 15\\ (x + y)^{2} = (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (x + 1)(y + 1). \\ \end{array}$

Из этой системы находим, что x = 9, y = 5 или x = 5, y = 9. Поскольку AC > AB, то условию задачи удовлетворяет только второе решение этой системы: x = 5, y = 9. Тогда AB = 6, AC = 10.

Если P — середина AC, то по теореме косинусов

BP² = AB² + AP² - 2AB^.AP cos 120^o = = 36 + 25 + 2^.6^.5^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 91.

Ответ

$\sqrt{91}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4039