Информация о задаче

Задача 55300

Темы:	[	Удвоение медианы	]
Темы:	[	Теорема о сумме квадратов диагоналей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон равно ${\frac{3}{4}}$ .

Подсказка

Квадрат медианы треугольника, проведённой к стороне a, равен ${\frac{1}{4}}$ (2b² + 2c² - a²), где a, b и c — стороны треугольника.

Решение

Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Если m — медиана, проведённая к стороне a, то

m² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2b² + 2c² - a²).

Это можно доказать, применив теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (предварительно достроив соответствующим образом треугольник до параллелограмма). Аналогично для квадратов остальных двух медиан. Сложив три полученных равенства, получим требуемый результат.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4047