Информация о задаче

Задача 55306

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан параллелограмм, в котором острый угол равен 60^o. Найдите отношение сторон параллелограмма, если отношение квадратов диагоналей равно ${\frac{1}{3}}$ .

Подсказка

Выразите квадраты диагоналей параллелограмма через его стороны по теореме косинусов.

Решение

Пусть d₁ и d₂ — диагонали параллелограмма ( d₁ < d₂); a и b — соседние стороны. По теореме косинусов

d²₁ = a² + b² - 2ab cos 60^o = a² + b² - ab,

d²₂ = a² + b² - 2ab cos 120^o = a² + b² + ab.

Тогда

$\displaystyle {\frac{d^{2}_{1}}{d^{2}_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2} + b^{2} - ab}{a^{2} + b^{2} + ab}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Поэтому

3a² + 3b² - 3ab = a² + b² + ab,

или

a² + b² - 2ab = 0, или (a - b)² = 0.

Следовательно, ${\frac{a}{b}}$ = 1.

Ответ

1:1.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4053