Информация о задаче

Задача 55308

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны остроугольного треугольника ABC соответственно равны a, b и c. Точка M находится внутри треугольника. Углы AMB, BMC и CMA равны между собой. Найдите сумму отрезков AM, BM и CM.

Подсказка

Если x, y и z — длины отрезков AM, BM и CM, то

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + xz).

Для нахождения суммы x² + y² + z² воспользуйтесь теоремой косинусов для треугольников AMB, BMC и CMA, а для нахождения суммы xy + yz + xz сложите площади этих треугольников.

Решение

Каждый из указанных углов равен 120^o. Пусть AM = x, BM = y, CM = z, S_ABC = S. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (xy + xz + yz)sin 120^o = $\displaystyle {\frac{(xy + xz + yz)\sqrt{3}}{4}}$ .

Отсюда находим, что 3(xy + yz + xz) = 4S $\sqrt{3}$ .

Выразим a², b² и c² по теореме косинусов из треугольников BMC, AMC и AMB соответственно, и сложим почленно полученные равенства. Тогда

2(x² + y² + z²) + (xy + xz + yz) = a² + b² + c².

Сложив почленно это равенство с равенством

3(xy + xz + yz) = 4S $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

получим, что

2(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz) = a² + b² + c² + 4S $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

или

2(x + y + z)² = a² + b² + c² + 4S $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Следовательно,

AM + BM + CM = x + y + z = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) + 2S\sqrt{3}}$ .

(S найдём по формуле Герона).

Ответ

$\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) + 2S\sqrt{3}}$ , где S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , p = ${\frac{a + b + c}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4055