Информация о задаче

Задача 55309

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка D лежит на стороне CB прямоугольного треугольника ABC ( $\angle$ C = 90^o), причём AB = 5, $\angle$ ADC = arccos ${\frac{1}{\sqrt{10}}}$ , DB = ${\frac{4\sqrt{10}}{3}}$ . Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Составьте уравнение относительно CD.

Решение

Обозначим CD = x, $\angle$ ADC = $\alpha$ . Поскольку cos $\alpha$ = ${\frac{1}{\sqrt{10}}}$ , то tg $\alpha$ = 3. Поэтому AC = 3x.

По теореме Пифагора из треугольника ABC находим, что

AC² + BC² = AB², или 9x² + $\displaystyle \left(\vphantom{x + \frac{4\sqrt{10}}{3}}\right.$ x + $\displaystyle {\frac{4\sqrt{10}}{3}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{x + \frac{4\sqrt{10}}{3}}\right)^{2}_{}$ = 25.

Из этого уравнения находим, что x = ${\frac{\sqrt{10}}{6}}$ . Тогда

3x = $\displaystyle {\frac{\sqrt{10}}{2}}$ , BC = CD + DB = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{10}}{2}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AC = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{4}}$ .

Ответ

${\frac{15}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4056