Информация о задаче

Задача 55311

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка D лежит на стороне BC равнобедренного треугольника ABC (AB = CB), причём CD = ${\frac{1}{4}}$ CB, $\angle$ ACB = arccos ${\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ , AD = ${\frac{3}{4}}$ . Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Примените теорему косинусов и составьте уравнение относительно DC.

Решение

Обозначим CD = x, $\angle$ ACB = $\alpha$ . Тогда

BC = 4x, AC = 2BC cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{8x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ .

По теореме косинусов

AD² = CD² + AC² - 2CD^.AC cos $\displaystyle \alpha$ , или $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{16}}$ = x² + 64x^{2 .} $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ - 2x^.8x^. $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ .

Отсюда находим, что x² = ${\frac{3}{11\cdot 16}}$ . Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BC^.sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.8x^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ ^.4x^. $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{16x^{2}\sqrt{2}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{11}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{2}}{11}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4058