Информация о задаче

Задача 55313

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство

r = $\displaystyle {\frac{a\sin \frac{\beta}{2}\sin \frac{\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$ ,

где r — радиус вписанной окружности, $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ -- углы треугольника ABC, a = BC.

Подсказка

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Рассмотрите треугольник BOC.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда

$\displaystyle \angle$ BOC = 180^o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

По теореме синусов из треугольника OBC находим, что

OC = $\displaystyle {\frac{a\sin \frac{\beta}{2}}{\sin \left(90^{\circ}+ \frac{\alpha}{2}\right)}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$ .

Следовательно,

r = OC sin $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sin \frac{\beta}{2}\sin \frac{\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4060