Информация о задаче

Задача 55317

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC стороны AB и AC равны соответственно $\sqrt{10}$ и $\sqrt{2}$ , а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен $\sqrt{5}$ . Найдите сторону BC и угол ACB, если известно, что угол ACB — острый.

Подсказка

Примените формулу a = 2R sin $\alpha$ .

Решение

Заметим, что sin $\angle$ ACB = ${\frac{AB}{2R}}$ (где R = $\sqrt{5}$ — радиус описанной окружности треугольника ABC), т.е. sin $\angle$ ACB = ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . Поэтому $\angle$ ACB = 45^o. Аналогично находим, что sin $\angle$ ABC = ${\frac{1}{\sqrt{10}}}$ .

Поскольку AC < AB, а угол ACB — острый, то угол ABC также острый. Поэтому cos $\angle$ ABC = ${\frac{3}{\sqrt{10}}}$ . Тогда

sin $\displaystyle \angle$ A = sin(180^o - $\displaystyle \angle$ B - $\displaystyle \angle$ C) = sin( $\displaystyle \angle$ B + $\displaystyle \angle$ C) =

= sin $\displaystyle \angle$ B cos $\displaystyle \angle$ C + cos $\displaystyle \angle$ B sin $\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{3}{\sqrt{10}}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5}}}$ .

Следовательно,

BC = 2R sin $\displaystyle \angle$ A = 2 $\displaystyle \sqrt{5}$ ^. $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5}}}$ = 4.

Ответ

4; 45^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4064