Информация о задаче

Задача 55327

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольнике ABCD сторона AB втрое длиннее стороны BC. Внутри прямоугольника расположена точка N, причём AN = $\sqrt{2}$ , BN = 4 $\sqrt{2}$ , DN = 2. Найдите косинус угла BAN и площадь прямоугольника ABCD.

Подсказка

Обозначьте AD = x, $\angle$ BAD = $\alpha$ , и с помощью теоремы косинусов составьте систему уравнений относительно x и $\alpha$ .

Решение

Обозначим AD = BC = x, AB = DC = 3x, $\angle$ BAN = $\alpha$ . Тогда $\angle$ NAD = 90^o - $\alpha$ . По теореме косинусов из треугольников BAN и NAD находим, что

BN² = AN² + AB² - 2AN^.AB cos $\displaystyle \alpha$ ,

DN² = AD² + AN² - 2AD^.AN sin $\displaystyle \alpha$ .

Получим систему

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} 32 = 2 + 9x^{2} - 2\cdot \s... ...= x^{2} + 2 - 2\cdot x\cdot \sqrt{2}\cdot \sin \alpha,\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} 32 = 2 + 9x^{2} - 2\cdot \sqrt{2}\cdot 3x\cdo... ...ha\\ 4 = x^{2} + 2 - 2\cdot x\cdot \sqrt{2}\cdot \sin \alpha,\\ \end{array}$

или

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} 2x\sqrt{2}\cos \alpha = 3x^{2} - 10\\ 2x\sqrt{2}\sin \alpha = x^{2} - 2.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} 2x\sqrt{2}\cos \alpha = 3x^{2} - 10\\ 2x\sqrt{2}\sin \alpha = x^{2} - 2.\\ \end{array}$

Возведем обе части каждого уравнения в квадрат и сложим полученные уравнения. Имеем уравнение

8x² = 9x⁴ - 60x² + 100 + x⁴ - 4x² + 4, или 10x⁴ - 72x² + 104 = 0.

Отсюда находим, что x² = 2 или x² = ${\frac{26}{5}}$ . Условию задачи удовлетворяет только второй корень (при x = $\sqrt{2}$ не выполняется неравенство треугольника для треугольника BAN). Следовательно,

S_ABCD = 3x² = $\displaystyle {\textstyle\frac{78}{5}}$ .

По теореме косинусов из треугольника BAN находим, что cos $\alpha$ = ${\frac{7}{\sqrt{65}}}$ .

Ответ

${\frac{7}{\sqrt{65}}}$ ; ${\frac{78}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4074