Информация о задаче

Задача 55331

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC отношение стороны BC к стороне AC равно 3, а $\angle$ ACB = $\alpha$ . Из вершины C проведены два луча, делящие угол ACB на три равные части. Найдите отношение отрезков этих лучей, заключённых внутри треугольника ABC.

Подсказка

Если a и b — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними, то биссектрису l этого угла можно вычислить по формуле

l = $\displaystyle {\frac{2ab\cos \frac{\alpha}{2}}{a+b}}$ .

Решение

Пусть M и N — точки пересечения указанных лучей со стороной AB (M — между A и N). Обозначим AC = x, CM = y, CN = z. Тогда BC = 3x.

S_ACN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xz sin $\displaystyle {\frac{2\alpha}{3}}$ = S_ACM + S_MCN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xy sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ yz sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{3}}$ .

Отсюда находим, что y = ${\frac{2xz\cos \frac{\alpha}{3}}{x+z}}$ . Из треугольника MCB аналогично находим, что

z = $\displaystyle {\frac{6xy\cos \frac{\alpha}{3}}{y +3x}}$ .

Выразим x из полученных равенств:

x = $\displaystyle {\frac{yz}{2z\cos \frac{\alpha}{3} - y}}$ , x = $\displaystyle {\frac{yz}{6y\cos \frac{\alpha}{3} - 3z}}$ .

Приравняв правые части этих выражений, получим уравнение

2z cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{3}}$ - y = 6y cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{3}}$ - 3z.

Разделим обе части этого уравнения на z и найдём нужное отношение ${\frac{y}{z}}$ :

$\displaystyle {\frac{y}{z}}$ = $\displaystyle {\frac{2\cos \frac{\alpha}{3} + 3}{6\cos \frac{\alpha}{3} + 1}}$ .

Ответ

${\frac{2\cos \frac{\alpha}{3}+3}{6\cos \frac{\alpha}{3}+1}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4078