Информация о задаче

Задача 55333

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма боковой стороны AB и диагонали BD равна 40, угол CBD равен 60^o. Отношение площадей треугольников ABO и BOC, где O — точка пересечения диагоналей, равно 2. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Обозначим AB = x. Тогда BD = 40 - x. По теореме косинусов

AB² = AD² + BD² - 2AD^.BD cos $\displaystyle \angle$ ADB,

или

x² = 16² + (40 - x)² - 16(40 - x).

Из этого уравнения находим, что x = 19. Тогда BD = 40 - x = 21. Поэтому

S_ADB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.DB sin 60^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.16^.21^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 84 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поскольку треугольники AOD и COB подобны, то

$\displaystyle {\frac{BC}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{CO}{AO}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta BOA}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Поэтому BC = 8, а

S_BDC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABD = 42 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Следовательно,

S_ABCD = S_ABD + S_BDC = 126 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

126 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4080