Информация о задаче

Задача 55335

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD угол A тупой, AD > AB, AD = 7. Точка A₁ симметрична точке A относительно прямой BD, а точка A₂ симметрична точке A₁ относительно прямой AC и лежит на диагонали BD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BA₂ = ${\frac{4}{5}}$ BD.

Подсказка

Докажите, что треугольник AA₁A₂ — равносторонний и примените теорему косинусов.

Решение

Из свойств осевой симметрии следует, что A₂A = A₂A₁ и AA₂ = AA₁. Поэтому треугольник AA₁A₂ — равносторонний, а точка O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD является центром этого треугольника.

Обозначим BD = 5x. Тогда

A₂D = x, AO = OA₂ = OD - A₂D = $\displaystyle {\frac{5x}{2}}$ - x = $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ AOD = 120^o.

По теореме косинусов

AD² = OA² + OD² - 2OA^.OD cos 120^o, или 49 = $\displaystyle {\frac{9x^{2}}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{25x^{2}}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{15x^{2}}{4}}$ .

Отсюда находим, что x = 2. Тогда BD = 10, AC = 2AO = 6. Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD^.AC sin 120^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.10^.6^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 15 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

15 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4082